I contributi di Betti Beltrami alla fisica matematica italiana

Rossana Tazzioli

I CONTRIBUTI DI BETTI BELTRAMI ALLA FISICA MATEMATICA
ITALIANA
La presente relazione si propone di fornire qualche elemento per una storia
della fisica matematica italiana dall'Unità alla prima guerra mondiale. In questo
contesto, Betti, Beltrami e i loro allievi giocarono un ruolo fondamentale. Essi
fornirono contributi essenziali alle ricerche sulla meccanica e sulle teorie
dell'elasticità, del potenziale e del calore e influenzarono Ricci Curbastro nella
sua formulazione del calcolo tensoriale.
1. L'opera fisico matematica di Beltrami
Beltrami studiò all'Università di Pavia a partire dal 1853 ma ben presto ne fu
allontanato perché coinvolto in azioni sovversive. Dopo alcuni anni trascorsi nel
Veneto, egli tornò a Milano dove ebbe l'opportunità di riprendere a frequentare
Brioschi e di fare la conoscenza di Cremona, entrambi personaggi chiave nella
sua formazione scientifica. Beltrami, che non conseguì mai la laurea, fu nominato
per decreto professore di algebra e geometria analitica all'Università di Bologna
nel 1862. In seguito, egli divenne professore a Pisa, dove insegnò geodesia dal
1863 al 1866, poi nuovamente a Bologna sulla cattedra di meccanica razionale
fino al 1873 quando si trasferì a Roma dove restò fino al 1876 per farvi ritorno
definitivamente nel 1891, dopo avere insegnato fisica matematica e meccanica
superiore all'Università di Pavia.
Beltrami, noto soprattutto per i suoi contributi alla geometria non euclidea
(1868a, 1869), ha scritto oltre cento articoli su argomenti di elettricità,
magnetismo, teoria del calore, potenziale ed elasticità negli ultimi trent'anni di
carriera. I suoi scritti di carattere fisico e fisico matematico, oltre ad aver aperto
la strada a nuove e importanti ricerche in vari campi, sono tesi al tentativo di
fornire una spiegazione meccanica della propagazione dei fenomeni mediante le
deformazioni di un etere che pervade l'intero universo. Il sistema di sforzi del
mezzo etereo, pensato come un fluido elastico, omogeneo e isotropo, può studiarsi
mediante la teoria matematica dell'elasticità di cui Navier aveva posto le basi nel
1821. In quest'ottica viene bandita l'azione a distanza mentre l'azione per
contatto, che si propaga da una particella di etere a quella immediatamente
vicina, prende il suo posto nella fisica.
Secondo Beltrami, l'universo non era necessarimante euclideo; egli tentava in
più occasioni di interpretare meccanicamente la trasmissione dei fenomeni
elettrici, magnetici ed elettromagnetici assumendo che lo spazio fosse dotato di
curvatura e, in particolare, supponeva che l'etere riempisse uno spazio sferico,
pseudosferico o euclideo a seconda del fenomeno che vi aveva luogo. Gli strumenti
matematici indispensabili allo studio degli spazi non euclidei erano stati
introdotti da Riemann nella sua lezione di abilitazione tenuta nel 1854, ma
pubblicata postuma solo nel 1868. Qui Riemann, introducendo alcuni metodi e
concetti basilari, come quello di varietà e di curvatura, dà l'avvio a uno studio
organico e sistematico della geometria differenziale.
Al fine di 'dar conto' della propagazione delle forze in uno spazio con
curvatura costante, Beltrami generalizzava a tale spazio le definizioni e i risultati
fondamentali delle teorie del potenziale e dell'elasticità applicando le procedure
geometrico differenziali sviluppate da Riemann nella sua lezione. Il teorema di
Green, ad esempio, veniva esteso prima ad una superficie qualunque, poi a spazi
con curvatura costante e infine a una generica varietà riemanniana (cf. 1864-65,
1868b). L'equazione di Laplace-Beltrami era dedotta da Beltrami (1868b) dalla
generalizzazione a una varietà del secondo parametro differenziale,
un'espressione differenziale invariante per trasformazioni di coordinate che era
stata introdotta da Lamé (1834).
Dopo aver esteso le componenti di rotazione di una deformazione elastica e la
dilatazione cubica a coordinate qualunque (1871-1874), Beltrami era in grado di
dedurre le equazioni dell'equilibrio di un corpo elastico isotropo in uno spazio con

1 Dipartimento di Matematica, Università di Catania, Viale A. Doria 6, 95125
Catania

curvatura costante (1882). Utilizzando queste e altre equazioni, valide per la
funzione potenziale in uno spazio curvo, Beltrami tentava di fornire una
spiegazione meccanica delle linee di forza elettriche e magnetiche (1882) e si
proponeva di determinare le tensioni dell'etere affinché quest'ultimo fosse in
grado di propagare le onde elettromagnetiche (1884a, 1884b, 1886). Il tentativo di
risolvere quest'ultima questione portava Beltrami a stabilire le condizioni
necessarie e sufficienti perché sei funzioni date costituissero le componenti di una
possibile deformazione (1889). Nel caso di un corpo elastico e isotropo, le
componenti di tensione dovevano soddisfare certe condizioni, che sono oggi
denominate equazioni di Beltrami (1892).
Le questioni di filosofia naturale sono dunque state determinanti nelle
ricerche di Beltrami; il tentativo di fornire una descrizione matematica della
realtà ha infatti costituito un pressante stimolo per generalizzare definizioni e
concetti fondamentali della fisica matematica agli spazi curvi e per dimostrare
risultati matematicamente rilevanti. Inoltre, il fatto stesso che l'universo
collabori alla propagazione delle forze mediante una variazione della curvatura
lascia intravvedere la possibilità che le varietà riemanniane, oltre a
rappresentare un concetto essenziale in geometria differenziale, rivestano un
ruolo rilevante anche nella fisica. Punto di vista, questo, confermato molti anni
più tardi con la teoria della relatività di Einstein.
2. Il contributo di Betti alle teorie del potenziale e dell'elasticità
Betti si laureò a Pisa nel 1846 e nel 1848 prese parte alla guerra di
indipendenza col battaglione universitario toscano. Nel 1857, egli divenne
professore di algebra superiore all'Università di Pisa e, nel 1859, ebbe la cattedra
di analisi superiore per poi passare all'insegnamento della fisica matematica che
mantenne fino al termine della sua carriera. Egli inoltre diresse a partire dal
1865, salvo brevissime interruzioni, la Scuola Normale Superiore di Pisa. Betti
fornì importanti contributi alla teoria delle equazioni algebriche, lavorando sulle
funzioni iperellittiche, e alla topologia, ma si dedicò anche alla fisica matematica
per più di vent'anni, in particolare alle teorie del potenziale e dell'elasticità. I
lavori principali di Betti sulla teoria del potenziale sono una serie di articoli
apparsi sul Nuovo Cimento negli anni 1863-64 e un trattato pubblicato nel 1879
dal titolo Teorica delle forze newtoniane e sue applicazioni all'elettrostatica e al
magnetismo.
Questi lavori non appaiono disgiunti dalle problematiche legate al principio di
Dirichlet, la cui validità fu oggetto di un acceso dibattito durante tutta la seconda
metà dell'Ottocento. E' interessante a riguardo il diverso atteggiamento verso il
principio di Dirichlet che Betti mostra nei suoi scritti; il che presuppone anche
l'uso di differenti metodi per la risoluzione del problema di Dirichlet. In
quest'ambito ha assunto un ruolo fondamentale, nell'opera di Betti, l'uso della
funzione di Green per determinare la soluzione di questioni riguardanti le teorie
del potenziale, dell'elasticità e del calore. Senza entrare in inutili dettagli,
l'introduzione di funzioni analoghe alla funzione di Green ha permesso a Betti di
risolvere numerosi problemi fisico matematici e di dedurre alcune importanti
conseguenze del suo celebre teorema di reciprocità (1872-73). Questo teorema
afferma che se si considera un solido elastico e omogeneo R con densità ρ e
limitato da una superficie σ e se (u,v,w), (u',v',w') sono due sistemi di
spostamenti, (X,Y,Z), (X',Y',Z') le forze di volume e (L,M,N), (L',M',N') le forze
superficiali a loro corrispondenti, allora vale la seguente formula:
(1) (L' u + M'v + N' w)dσ
∫
+ ρ ∫ ( X'u + Y'v + Z'w)dR =
σ
R
(L' u + M'v + N' w)dσ
∫
+ ρ∫ (Xu' +Yv' +Zw' )dR.
σ
R
Dal teorema di reciprocità, espresso dalla relazione (1), Betti deduceva alcune
funzioni, che giocavano lo stesso ruolo della funzione di Green nella teoria del
potenziale e che gli consentivano di descrivere la rotazione e la dilatazione di un
corpo elastico e isotropo in equilibrio mediante le forze che agivano sul corpo
stesso.

Il profondo interesse di Beltrami per la filosofia naturale non si ritrova nei
lavori, pressoché contemporanei, di Betti. Tuttavia è possibile rintracciare, negli
appunti di quest'ultimo e nelle ricerche dei suoi studenti, un'attenzione
particolare verso i fondamenti della teoria dell'elasticità, l'interpretazione
meccanica delle equazioni di Maxwell e la teoria dell'elasticità negli spazi curvi.
In alcune note, tratte dalle sue lezioni di fisica matematica all'Università di Pisa
o frutto di meditazioni su delle ricerche di Dirichlet, Riemann e dello stesso
Beltrami, Betti propone più volte il tema dell'etere e sviluppa un'analisi del moto
dell'etere e delle sue deformazioni elastiche. E' dunque lecito chiedersi se, e in che
termini, Beltrami e Betti avevano interessi comuni e in che modo questi
riguardassero il tentativo di fornire un'interpretazione del mondo fisico in
termini meccanici.
3. Interessi comuni di Beltrami e Betti
Betti e Beltrami furono colleghi tra il 1863 e il 1866, quando Beltrami fu
professore di geodesia all'Università di Pisa, nello stesso periodo in cui Riemann
trascorse un paio d'anni presso la stessa Università. Nel "Fondo Betti", contenuto
presso l'Archivio della Scuola Normale Superiore di Pisa, vi sono 11 lettere di
Beltrami a Betti che hanno per lo più carattere istituzionale e che testimoniano il
grande peso politico di questi due personaggi sulle vicende universitarie legate
all'assegnazione di cattedre e, più in generale, all'insegnamento della fisica
matematica in Italia.
Per quanto riguarda la fisica matematica, Betti e Beltrami si occuparono
soprattutto di questioni legate alle teorie del potenziale e dell'elasticità e
condivisero, oltre a questi, numerosi altri interessi scientifici. Le ricerche comuni
più salienti, che si ritrovano sia nei loro lavori pubblicati, sia nelle carte di Betti,
possono riassumersi nei termini seguenti:
1) Betti e Beltrami ritenevano che il teorema di Green rivestisse un ruolo
privilegiato nella teoria del potenziale e della sua generalizzazione si occuparono
entrambi. Beltrami lo estese alle varietà riemanniane (cf. § 1) e Betti utilizzò la
funzione di Green per risolvere varie questioni di fisica matematica: teoria del
calore (1868), elasticità (1872-73) (cf. § 2) e propagazione del suono. Su
quest'ultimo argomento si trovano alcuni appunti di Betti appartenenti con ogni
probabilità alle Lezioni di Fisica Matematica 1866/67 dove viene stabilita una
relazione che è l'analogo della formula di Green nel caso dell'equazione della
propagazione del suono ("Fondo Betti", Vol. XIII).
2) Beltrami (1884a, 1884b, 1886; cf. § 1) cercò di risolvere il problema posto da
Maxwell: qual è il sistema di sforzi a cui è sottoposto l'etere affinché tale mezzo
sia in grado di propagare i fenomeni elettromagnetici nello spazio?
Nel suo Treatise on electricity and magnetism (1873), Maxwell presentava il
sistema di tensioni e di pressioni dell'etere posto tra due sistemi elettrici
interagenti. L'azione elettrica tra i due sistemi, descritta facendo ricorso alla
teoria dell'azione per contatto, prevedeva che nel mezzo "che si estendeva con
continuità" tra i due corpi si producesse uno sforzo costituito da una tensione
lungo le linee di forza e da una pressione normale a queste linee. Se non esistesse
alcun mezzo allora le componenti del sistema di sforzi dell'etere sarebbero mere
abbreviazioni di espressioni "prive di significato fisico".
Senza entrare nei dettagli, Beltrami (1884a) determinava un sistema di
masse in cui il lavoro delle forze newtoniane coincideva col lavoro delle forze
elastiche date dalle formule di Maxwell. In particolare, egli mostrava che le
tensioni lungo le linee di forza erano uguali a quelle già dedotte da Maxwell.
Inoltre, Beltrami (1884b) forniva una deduzione "diretta" e generale delle formule
di Maxwell assumendo che le coordinate fossero assolutamente generali, cioè
curvilinee e oblique e, in un articolo pubblicato due anni dopo (1886), stabiliva
l'impossibilità per un mezzo elastico, omogeneo e isotropo di deformarsi in modo
tale da dar luogo al sistema di forze di Maxwell. Dunque, poiché "non è
generalmente possibile riprodurre il sistema delle pressioni definite dalle formole
di Maxwell mediante le deformazioni di un mezzo isotropo" (1886, 192), si doveva
indagare "per altre vie", affermava Beltrami, l'interpretazione meccanica della
teoria di Maxwell.
In alcuni appunti contenuti nel "Fondo Betti" (Vol. IX), datati 26 luglio 1881,
Betti considerava un sistema di masse che dava luogo alle tensioni e pressioni

date da Maxwell e determinava il sistema di sforzi dell'etere affinché questo fosse
in grado di propagare i fenomeni elettrici e magnetici.
3) Beltrami stabilì le equazioni dell'equilibrio elastico in uno spazio con
curvatura costante e le pubblicò negli Annali di matematica pura ed applicata
del 1880-82 (1882). In un appunto di Betti, del 26 luglio 1881 e dunque
precedente alla data di pubblicazione del lavoro Beltrami, si trova lo stesso
sistema di equazioni ("Fondo Betti", Vol. IX). E' tuttavia possibile che Betti fosse
a conoscenza dello scritto di Beltrami, che questi aveva terminato poche
settimane prima, anche in qualità di responsabile degli Annali.
4) Sia Beltrami, sia Betti si interessarono ai fondamenti della teoria
dell'elasticità. Beltrami si occupò per lunghi anni di problemi riguardanti la
struttura della materia e le forze che legano insieme atomi e molecole e se ne
trova traccia nelle sue lezioni sulla teoria matematica dell'elasticità, che egli
tenne presumibilmente a Roma negli ultimi anni della sua vita e che furono
manoscritte da un suo studente, Alfonso Sella. Le lezioni di Beltrami, che sono
contenute presso la Biblioteca del Dipartimento di Matematica di Genova e di cui
sono pubblicati degli stralci (cf. Tazzioli 1993), si inseriscono nel dibattito
ottocentesco che aveva per oggetto fondamentali problemi di teoria dell'elasticità,
come l'esistenza o meno dei raggi luminosi longitudinali e trasversali, e i modelli
di etere da impiegarsi per descrivere la propagazione delle forze fisiche.
In alcuni appunti, Betti affronta questioni concernenti la costituzione dei
corpi elastici sulle quali non sempre ha idee molto precise; spesso, egli si limita a
riportare le opinioni più accreditate dell'epoca che però appaiono, in molti punti,
contraddittorie ("Fondo Betti", Vol. X, Vol. XI).
4. L'influenza di Betti e Beltrami sulla fisica matematica italiana.
Beltrami cambiò spesso Università e insegnamento e non ebbe pertanto
l'opportunità di creare una vera e propria scuola. Egli ebbe comunque degli
studenti, che solo parzialmente seguirono le sue lezioni all'università, ma che
tuttavia si ispirarono a lui per svolgere ricerche soprattutto nei campi della
geometria differenziale e della fisica matematica. Padova e Somigliana furono
studenti di Beltrami ed entrambi si laurearono a Pisa, il primo nel 1866 e il
secondo nel 1881. In seguito, Padova divenne professore di meccanica razionale
all'università di Pisa nel 1869 e nel 1882 fu trasferito, in seguito a sua richiesta,
a Padova sulla cattedra di meccanica superiore. Somigliana insegnò fisica
matematica a Pavia a partire dal 1887 e, nel 1903, si trasferì a Torino dove
rimase fino alla morte. Anche Cesàro venne profondamente influenzato dalle
ricerche di Beltrami, sebbene non lo ebbe mai come insegnante. Nel 1887, dopo
essere stato giudicato primo nel concorso di professore all'Università di Messina,
Cesàro accettò la cattedra di analisi resasi vacante a Palermo dove restò fino al
1891, anno in cui si trasferì all'Università di Napoli a insegnare calcolo
infinitesimale. Interessanti sono le diciassette lettere che Beltrami scrisse a
Cesàro tra il 1883 e il 1900 dove sono contenute numerose considerazioni su
problemi di fisica matematica (cf. Palladino, Tazzioli 1996).
Cesàro, Padova e Somigliana dedussero risultati interessanti sulle teorie del
potenziale e dell'elasticità, soprattutto in spazi curvi, e contribuirono alla
formazione della fiorente scuola italiana di geometria differenziale. E' forse il
caso di osservare che Somigliana (1890) determinò le sue celebri equazioni, che
esprimono gli spostamenti all'interno di un corpo in funzione delle forze date e
degli spostamenti sulla superficie, a partire da considerazioni legate
all'interpretazione meccanica delle equazioni di Maxwell del tutto ispirate ai
lavori di Beltrami.
Betti insegnò fisica matematica alla Scuola Normale Superiore di Pisa per
gran parte della sua carriera di professore, durata trentacinque anni. Egli ebbe
un'enorme influenza sullo sviluppo della fisica matematica italiana; i suoi
studenti furono numerosi e alcuni di essi divennero personaggi autorevoli, basti
ricordare Dini, Ricci Curbastro e Volterra. Nel 1876 Dini, che aveva anche avuto
l'occasione di seguire i corsi di geodesia di Beltrami a Pisa, pubblicò un articolo
dove veniva descritta una funzione analoga a quella di Green per un problema di
Neumann in due dimensioni (1876), che oggi viene usualmente denominata
funzione di Green di seconda specie.
Ricci, che fu allievo di Padova oltre che di Betti, merita una menzione
particolare; egli si occupò dell'interpretazione meccanica delle equazioni di

Maxwell (cf. § 1 e 3) prima che fossero pubblicati gli articoli di Beltrami sullo
stesso argomento (Ricci 1877). L'influenza di Betti sulla scelta del soggetto e sulla
sua trattazione è dichiarata dallo stesso Ricci e appare ancora più evidente nella
determinazione del sistema di sforzi dell'etere atto a sviluppare le forze
elettriche. In particolare, ammettendo "che ad ogni punto dello spazio esista una
tensione p secondo la direzione della risultante ed in ogni direzione a questa
normale una pressione p", Ricci (1877, 74) dimostrava come questo sistema di
forze interne spiegasse sia la trasmissione delle azioni reciproche delle masse
elettriche sia l'equilibrio del mezzo.
Le idee di Ricci riguardanti il mezzo etereo e la partecipazione di questo alla
trasmissione delle forze nello spazio muteranno radicalmente nel corso degli
anni. Mentre in questo e in altri articoli pubblicati intorno agli anni '80 Ricci
condivide l'opinione di Beltrami, Somigliana, Cesàro, Padova e di Betti stesso
sulla necessità di ammettere l'esistenza dell'etere, nella commemorazione in
onore di Padova, letta nel 1897, Ricci si astiene da assunzioni circa l'esistenza del
mezzo etereo e non prende posizione sull'azione a distanza o per contatto. Ricci
sostiene che il compito della "fisica teorica" è quello di fornire una
rappresentazione matematica, simbolica, della realtà fisica e che non si devono
avanzare ipotesi sulla natura dello spazio. In quest'ottica l'etere, divenuto un
inutile supporto, lascerà il posto alla struttura geometrica dello spazio, ossia al
campo svincolato dalla materia.
Le opere di Betti e Beltrami lasciano dunque trasparire un percorso teorico
che, dalle ricerche di Gauss e di Riemann sulla geometria differenziale, conduce
al calcolo tensoriale di Ricci. Questi, nell'articolo scritto in collaborazione con Levi
Civita, applicò magistralmente il proprio algoritmo anche alla fisica matematica,
in particolare alle teorie del calore, del potenziale e dell'elasticità (Levi Civita,
Ricci 1900). Nelle sue Lezioni sulla teoria matematica dell'elasticità, pubblicate
postume, Ricci (1957) utilizzò il calcolo tensoriale per esprimere i principali
risultati ed equazioni della teoria dell'elasticità, come il tensore di deformazione,
le equazioni indefinite dell'equilibrio e il potenziale elastico, in una notazione
indipendente dal sistema di coordinate. I tensori costituiscono infatti gli
strumenti più adeguati a formulare le leggi fondamentali della fisica che sono,
per loro propria natura, indipendenti dal sistema di coordinate scelto. Questo
punto di vista, del tutto innovativo, troverà ampia conferma nelle teorie fisiche
dell'inizio del Novecento, in particolare nella teoria della relatività e nella
meccanica quantistica.
Nell'ambiente italiano, povero di fisici teorici di grande rilievo, Beltrami e
Betti rappresentavano un punto di riferimento importante anche per gli studiosi
europei, e tedeschi in particolare. Indicativa, a questo riguardo, è una lettera di
Beltrami a Klein, datata 17 aprile 1888 (in "Nachlass Klein", Niedersächsische
Staats-und Universitätsbibliothek di Göttingen), dove Beltrami così commenta
l'atteggiamento dei fisici italiani verso la matematica:
"Quant à la crainte que Vous semblez concevoir d'un divorce toujours
croissant entre les mathématiques et la physique, j'oserais vous dire que
l'Allemagne est, à mon avis, le pays où ce divorce me paraîtrait le moins avancé:
peut-être certaines parties da la science n'y sont pas encore devenues assez
populaires, pour ainsi dire, parmi les physiciens, mais en revanche il y en a
plusieurs autres qui sont entrées assez bien dans le domaine commun. Que diriez
Vous donc si vous voyiez de près ce qui se passe en Italie, où deux ou trois
physiciens seulement ont une connaissance approfondie des théories
fondamentales!"
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